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哥德巴赫猜想
世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一
哥德巴赫猜想（英文名：Goldbach’s conjecture）是德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫于1742年給數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的一個猜想：是否所有大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個素數(shù)之和。
基本信息
中文名
哥德巴赫猜想
英文名
Goldbach’s conjecture
應(yīng)用學(xué)科
數(shù)學(xué)
提出時間
1742年
提出者
哥德巴赫
出處
哥德巴赫寫給歐拉的信件
1742年，歐拉回信給哥德巴赫，認為該猜想可能為真，但其無法證明。此后，該猜想成為數(shù)學(xué)中一個著名的難題，眾多數(shù)學(xué)家先后對該猜想進行驗證，18/19世紀(jì)的數(shù)論專家對該猜想均未作出有效推進，20世紀(jì)的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明了"任何大奇數(shù)都可表示為三個素數(shù)之和"，對該猜想做出一定貢獻。1966年，中國科學(xué)家陳景潤證明了“任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成為兩個數(shù)之和，其中一個是素數(shù)，另一個為不超過兩個素數(shù)的乘積”，成為距離該猜想被證實的最接近的學(xué)術(shù)成果。
哥德巴赫猜想經(jīng)過多年的研究，其表述已逐漸轉(zhuǎn)化為：每個大于等于6的偶數(shù)，都可表示為兩個奇素數(shù)之和；每個大于等于9的奇數(shù)，都可表示為三個奇素數(shù)之和。
研究歷史
研究起源
1742年6月7日，數(shù)學(xué)家哥德巴赫在給數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出一個猜想：任何一個大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和，該猜想其本人無法證明，遂請教歐拉能否給出證明。同年，歐拉回信給哥德巴赫，認為這個猜想可能是成立的，但他也無法證明。
研究進程
18/19世紀(jì)，多位數(shù)論專家均對該猜想作出驗證，但都以失敗告終。其中，英國數(shù)學(xué)家華林在《代數(shù)沉思錄》中，將該猜想的表述改為“每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，每個不小于9的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和”，此后，該表述成為一個常用的哥德巴赫猜想表述。
因為無法直接證明哥德巴赫猜想的真實性，數(shù)學(xué)家們換了一種思路，開始考慮把偶數(shù)表示為兩數(shù)之和，而每一個數(shù)又是若干素數(shù)之積，將命題"每一個大偶數(shù)可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和"記作"a＋b"，那么哥德巴赫猜想就是要證明"1＋1"成立。
1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明“每個充分大的偶數(shù)都是這樣的兩個正整數(shù)之和，其中每個正整數(shù)的素因子個數(shù)不超過9”，該結(jié)果被稱為“9+9”，布朗在數(shù)論領(lǐng)域的工作有效推動了哥德巴赫猜想的研究。隨后，德國數(shù)學(xué)家拉特馬赫于1924年證明了"7+7"，英國數(shù)學(xué)家埃斯特曼于1932年證明了"6+6"，意大利數(shù)學(xué)家蕾西于1937年先后證明了"5+7""4+9""3+15"和"2+366"，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫于1937年證明了任何一個相當(dāng)大的奇數(shù)都可以用三個素數(shù)的和來表示，其中，維諾格拉多夫的成果成為哥德巴赫猜想的一個階段性成果。
此后，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫夕太勃分別在1938年、1940年證明了"5+5"和"4+4"；匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩尼在1948年證明了"1+C"，其中C很大；中國數(shù)學(xué)家王元在1956年證明了"3+4"，并在1957年又先后證明了"3+3"和"2+3"；中國數(shù)學(xué)家潘承洞和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家巴爾巴恩在1962年聯(lián)合證明了"1+5"；1962年，中國數(shù)學(xué)家王元證明了"1+4"；1965年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫夕太勃、小維諾格拉夫和意大利數(shù)學(xué)家波波里聯(lián)合證明了"1+3"，哥德巴赫猜想被不斷的推進驗證。
1966年，中國數(shù)學(xué)家陳景潤在《科學(xué)通報》發(fā)表學(xué)術(shù)成果，證明任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成為兩個數(shù)之和，其中一個是素數(shù)，另一個為不超過兩個素數(shù)的乘積。該成果也被簡稱為"1+2"，成為哥德巴赫猜想研究上里程碑式的成果。1973年，陳景潤再度完成了對“1+2”證明的修改，并證明了定理：任何一個足夠大的偶數(shù)都可以表示成一個素數(shù)和一個半素數(shù)的和。該定理發(fā)表后震動了國際數(shù)學(xué)界，被命名為“陳氏定理”。陳景潤也因此被中國科學(xué)院破格晉升為研究員。
由哥德巴赫提出的“任一大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和”的猜想，后來也被稱為“強哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”，國際數(shù)學(xué)界由此衍生出了“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”的猜想，即“任一大于7的奇數(shù)都可以寫成三個素數(shù)之和”。
研究途徑
殆素數(shù)
殆素數(shù)是眾多數(shù)學(xué)家進行驗證研究的主要方法，殆素數(shù)是指素數(shù)因子個數(shù)不多的正整數(shù)。設(shè)N為偶數(shù)，雖然不能直接證明N是兩個素數(shù)之和，但可以證明N能夠?qū)懗蓛蓚€殆素數(shù)的和，即N=A+B，其中A和B的素數(shù)因子個數(shù)都不太多。用“a+b”來表示該命題即：每個大偶數(shù)N都可表示為A+B，其中A和B的素數(shù)因子個數(shù)分別不超過a和b。那么，哥德巴赫猜想最終就是要證明“1+1”。經(jīng)過多位數(shù)學(xué)家的努力，該途徑已被驗證到“1+2”的地步。
陳景潤關(guān)于“1+2”的證明：任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)的和或者一個素數(shù)及一個2次殆素數(shù)的和，即對于任給一個大偶數(shù)N，總可以找到奇素數(shù)p'，p''或p1，p2，p3，使得：
陳景潤的論文《大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和》中，加權(quán)篩法與“1+2”的證明：
陳景潤加權(quán)篩法與“1+2”的證明
例外集合
例外集合通過在數(shù)軸上取定大整數(shù)x，從x往前尋找使哥德巴赫猜想不成立的那些偶數(shù)，即例外偶數(shù)。x之前所有例外偶數(shù)的個數(shù)記為E（x）。假定不論x有多大，x之前只有一個例外偶數(shù)2，即只有2能使該猜想被證明是錯的。那么，哥德巴赫猜想就等價于E（x）永遠等于1。不過，迄今并不能證明E（x）=1，只能證明E（x）遠比x小。在x前面的偶數(shù)個數(shù)大概是x/2；如果當(dāng)x趨于無窮大時，E（x）與x的比值趨于零。也就是例外偶數(shù)密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數(shù)成立。例外偶數(shù)是零密度的問題由中國數(shù)學(xué)家華羅庚在1938年給出證明。
三素數(shù)定理
三素數(shù)定理是指如果哥德巴赫的偶數(shù)猜想正確，那么奇數(shù)的猜想也正確。已知奇數(shù)N可以表示成三個素數(shù)之和，假如可以證明這三個素數(shù)中有一個非常小，比如第一個素數(shù)可以總?cè)?，那么就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。在該研究途徑中，中國數(shù)學(xué)家潘承洞于1959年研究有一個小素變數(shù)的三素數(shù)定理。這個小素變數(shù)不超過N的θ次方，而驗證目標(biāo)就是要證明θ可以取0，即這個小素變數(shù)有界，以此來推出偶數(shù)的哥德巴赫猜想。潘承洞首先證明θ可取1/4，中國數(shù)學(xué)家展?jié)?/a>于1995年又證明了該數(shù)值可以取到7/120，不過這個數(shù)值仍然大于0。
幾乎哥德巴赫問題
幾乎哥德巴赫問題是數(shù)學(xué)家林尼克在1953年發(fā)表的一篇論文中提出，林尼克證明：存在一個固定的非負整數(shù)k，使得任何大偶數(shù)都能寫成兩個素數(shù)與k個2的方冪之和。能寫成k個2的方冪之和的整數(shù)構(gòu)成一個非常稀疏的集合，對任意取定的x，x前面這種整數(shù)的個數(shù)不會超過log x的k次方。由此，林尼克指出，雖然無法直接證明哥德巴赫猜想，但是通過在整數(shù)集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集里面拿一個元素貼到這兩個素數(shù)的表達式中去，這個表達式就成立。這里的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數(shù)值較小的k表示更好的逼近度。即當(dāng)k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現(xiàn)，從而證明哥德巴赫猜想。該途徑下，林尼克并沒有具體定出k的可容許數(shù)值，只能判斷k值應(yīng)該很大。1999年，中國數(shù)學(xué)家廖明哲、王天澤聯(lián)合首次定出k的可容許值為54000。此后，k值被不斷改進，中國數(shù)學(xué)家李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000，英國數(shù)學(xué)家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數(shù)學(xué)家普赫塔(Puchta)合作定出k的可容許值為13。
價值意義
為證明哥德巴赫猜想，世界范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)界均展開了長期的研究，有力的推動了數(shù)論的發(fā)展。
哥德巴赫猜想
暫無
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