質(zhì)數(shù) （只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)）
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質(zhì)數(shù)
只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)
基本信息
| 中文名 | 質(zhì)數(shù) |
| 外文名 | prime number |
| 別名 | 素?cái)?shù) |
| 例子 | 2、3、5、7 |
| 反義詞 | 合數(shù) |
| 討論范圍 | 非0自然數(shù) |
| 定義 | 只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù) |
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定義
質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱為合數(shù)。
性質(zhì)
質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個(gè)經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，
是素?cái)?shù)或者不是素?cái)?shù)。
如果為素?cái)?shù)，則要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。
- 如果為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。因此無論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說，素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。
- 其他數(shù)學(xué)家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，哈里·弗斯滕伯格則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。
分布規(guī)律
以36N(N+1)為單位，隨著N的增大，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)以波浪形式漸漸增多。
孿生質(zhì)數(shù)也有相同的分布規(guī)律。
S1區(qū)間1——72，有素?cái)?shù)18個(gè)，孿生素?cái)?shù)7對。（2和3不計(jì)算在內(nèi)，最后的數(shù)是孿中的也算在前面區(qū)間。）
S2區(qū)間73——216，有素?cái)?shù)27個(gè)，孿生素?cái)?shù)7對。
S3區(qū)間217——432，有素?cái)?shù)36個(gè)，孿生素?cái)?shù)8對。
S4區(qū)間433——720，有素?cái)?shù)45個(gè)，孿生素?cái)?shù)7對。
S5區(qū)間721——1080，有素?cái)?shù)52個(gè)，孿生素?cái)?shù)8對。
S6區(qū)間1081——1512，素?cái)?shù)60個(gè)，孿生素?cái)?shù)9對。
S7區(qū)間1513——2016，素?cái)?shù)65個(gè)，孿生素?cái)?shù)11對。
S8區(qū)間2017——2592，素?cái)?shù)72個(gè)，孿生素?cái)?shù)12對。
S9區(qū)間2593——3240，素?cái)?shù)80個(gè)，孿生素?cái)?shù)10對。
S10區(qū)間3241——3960，素?cái)?shù)91個(gè)，孿生素?cái)?shù)18對。
S11區(qū)間3961——4752素?cái)?shù)92個(gè)，孿生素?cái)?shù)17對。
S12區(qū)間4752——5616素?cái)?shù)98個(gè)，孿生素?cái)?shù)13對。
S13區(qū)間5617——6552素?cái)?shù)108個(gè)，孿生素?cái)?shù)14對。
S14區(qū)間6553——7560素?cái)?shù)113個(gè)，孿生素?cái)?shù)19對。
S15區(qū)間7561——8640素?cái)?shù)116個(gè)，孿生素?cái)?shù)14對。
素?cái)?shù)分布規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，許多素?cái)?shù)問題可以解決。
數(shù)目計(jì)算
盡管整個(gè)素?cái)?shù)是無窮的，仍然有人會(huì)問“100，000以下有多少個(gè)素?cái)?shù)？”，“一個(gè)隨機(jī)的100位數(shù)多大可能是素?cái)?shù)？”。素?cái)?shù)定理可以回答此問題。
- 在一個(gè)大于1的數(shù)a和它的2倍之間（即區(qū)間(a,2a]中）必存在至少一個(gè)素?cái)?shù)。
- 一個(gè)偶數(shù)可以寫成兩個(gè)合數(shù)之和，其中每一個(gè)合數(shù)都最多只有9個(gè)質(zhì)因數(shù)。（挪威數(shù)學(xué)家布朗，1920年）
- 一個(gè)偶數(shù)必定可以寫成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上一個(gè)最多由5個(gè)因子所組成的合成數(shù)。后來，有人簡稱這結(jié)果為(1+5)(中國潘承洞，1968年)
性質(zhì)特點(diǎn)
質(zhì)數(shù)具有許多獨(dú)特的性質(zhì)：
（1）質(zhì)數(shù)p的約數(shù)只有兩個(gè)：1和p。
（3）質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。
（4）質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)公式
是不減函數(shù)。
（5）若n為正整數(shù)，在
到
之間至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。
（6）若n為大于或等于2的正整數(shù)，在n到
之間至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。
（7）若質(zhì)數(shù)p為不超過n(
)的最大質(zhì)數(shù)，則
。
（8）所有大于10的質(zhì)數(shù)中，個(gè)位數(shù)只有1,3,7,9。
公式
素?cái)?shù)密度公式
根據(jù)
根據(jù)1-1性質(zhì)以多項(xiàng)式
為函數(shù)
中的指數(shù)
得
1-2
當(dāng)n為素?cái)?shù)或1時(shí)，
等于1，當(dāng)n為合數(shù)時(shí)，等于0
通項(xiàng)公式
素?cái)?shù)的變量n的通項(xiàng)公式
有以上公式能夠確定偽素?cái)?shù)及素?cái)?shù)，那么通過對其變量n的識別，我們可以寫出任意素?cái)?shù)或偽素?cái)?shù)
先確定偽素?cái)?shù)的變量n,用n(x,y)來表示它，變量是個(gè)三維變量，公式如下：
n為偶數(shù)時(shí)：x,y均自然數(shù)
n為奇數(shù)時(shí)：
應(yīng)用
質(zhì)數(shù)被利用在密碼學(xué)上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時(shí)加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實(shí)為尋找素?cái)?shù)的過程），將會(huì)因?yàn)檎屹|(zhì)數(shù)的過程（分解質(zhì)因數(shù)）過久，使即使取得信息也會(huì)無意義。
在汽車變速箱齒輪的設(shè)計(jì)上，相鄰的兩個(gè)大小齒輪齒數(shù)設(shè)計(jì)成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個(gè)相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強(qiáng)耐用度減少故障。
在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明。實(shí)驗(yàn)表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產(chǎn)生抗藥性。
以質(zhì)數(shù)形式無規(guī)律變化的導(dǎo)彈和魚雷可以使敵人不易攔截。
多數(shù)生物的生命周期也是質(zhì)數(shù)（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機(jī)會(huì)。
編程
基本判斷思路
在一般領(lǐng)域，對正整數(shù)n，如果用2到
之間的所有整數(shù)去除，均無法整除，則n為質(zhì)數(shù)。
質(zhì)數(shù)大于等于2不能被它本身和1以外的數(shù)整除
代碼
Python代碼：
frommathimportsqrtdefis_prime(n):ifn==1:returnFalseforiinrange(2,int(sqrt(n))+1):ifn%i==0:returnFalsereturnTrue
Java代碼：
1.publicstaticbooleantestIsPrime2(intn){if(n<=3){returnn>1;}for(inti=2;i
Php代碼：
functionisPrime($n){//TurkHackTeamAVPproductionif($n<=3){return$n>1;}elseif($n%2===0||$n%3===0){returnfalse;}else{for($i=5;$i*$i<=$n;$i+=6){if($n%$i===0||$n%($i+2)===0){returnfalse;}}returntrue;}}
C#代碼：
usingSystem; namespace計(jì)算質(zhì)數(shù) { classProgram { staticvoidMain(string[]args) { for(inti=2,j=1;i<2100000000&&j<=1000;i++)//輸出21億內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，j控制只輸出1000個(gè)?！?#123; if(st(i)) { Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i); j++; } } } staticboolst(intn)//判斷一個(gè)數(shù)n是否為質(zhì)數(shù) { intm=(int)Math.Sqrt(n); for(inti=2;i<=m;i++){if(n%i==0&&i!=n)returnfalse; }returntrue; } } }
C代碼：
#include#includeintmain(){doublex,y,i;inta,b;x=3.0;do{i=2.0;do{y=x/i;a=(int)y;if(y!=a)//用于判斷是否為整數(shù){if(i==x-1){b=(int)x;printf("%d
",b);}}i++;}while(y!=a);x++;}while(x<=10000.0);//3到10000的素?cái)?shù)system("pause");//防止閃退return0;}
C/C++代碼：
#include<iostream>#include#include< cmath>usingnamespacestd;constlonglongsize=100000;//修改size的數(shù)值以改變最終輸出的大小longlongzhishu[size/2];voidwork(){//主要程序zhishu[1]=2;longlongk=2;for(longlongi=3;i<=size;i++){//枚舉每個(gè)數(shù)boolok=1;for(longlongj=1;jfreopen("zhishu.out","w",stdout);cout<<"count12"<
boolisPrime(unsignedlongn){if(n<=3){returnn>1;}elseif(n%2==0||n%3==0){returnfalse;}else{for(unsignedshorti=5;i*i<=n;i+=6){if(n%i==0||n%(i+2)==0){returnfalse;}}returntrue;}}
Pascal代碼：
functionsu(a:longint):boolean;varbeginifa=2thenexit(true)elsefori:=2totrunc(sqrt(a))+1doifamodi=0thenexit(false);exit(true);end.
Javascript代碼：
functionisPrime(n){if(n<=3){returnn>1;}if(n%2==0||n%3==0){returnfalse;}for(vari=5;i*i<=n;i+=6){if(n%i==0||n%(i+2)==0){returnfalse;}}returntrue;}
Go代碼：
funcisPrime(valueint)bool{ifvalue<=3{returnvalue>=2}ifvalue%2==0||value%3==0{returnfalse}fori:=5;i*i<=value;i+=6{ifvalue%i==0||value%(i+2)==0{returnfalse}}returntrue}
Basic代碼
PrivateFunctionIfPrime(ByValxAsLong)AsBooleanDimiAsLongIfx<0Thenx=-xIfx=2ThenReturnTrueIfx=1ThenReturnTrueIfx=3ThenReturnFalseIfx=0ThenMsgBox("error",,)ReturnFalseEndIfFori=2ToInt(Sqrt(x))Step1IfxModi=0ThenReturnFalseNextiReturnTrueEndFunction
ALGOL代碼
beginBooleanarraya[2:100];integeri,j;fori:=2step1until100doa[i]:=true;fori:=2step1until10doifa[i]thenforj:=2step1until1000÷idoa[i×j]:=false;fori:=2step1until100doifa[i]thenprint(i);end
素性檢測
上下素性判決定法
首先，本文英文字母都表示整數(shù)，上半部B》3N》W，下半部B》W》3N。大于3的素?cái)?shù)只有6N-1和6N+1兩種形式，我們只需判定這兩種數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)即可。
命題1對于B=36N+1型數(shù)而言。
則6(3N-W)+1是小因子數(shù)；6(3N+W)+1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N-W)-1是小因子數(shù)；6(3N+W)-1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題2對于B=36N+7形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N-W)+1是小因子數(shù)，6(3N+W+1)+1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+2-W)-1是小因子數(shù)，6(3N+W+3)-1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題3對于B=36N+13形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+1-W)+1是小因子數(shù)，6(3N+1+W)+1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+2-W)-1是小因子數(shù)，6(3N+2+W)-1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題4對于B=36N+19形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+1-W)+1是小因子數(shù)；6(3N+2+W)+1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+1-W)-1是小因子數(shù)；6(3N+2+W)-1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題5對于B=36N+25形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+2-W)+1是小因子數(shù)，6(3N+2+W)+1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+1-W)-1是小因子數(shù)，6(3N+1+W)-1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題6對于B=36N+31形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N+2-W)+1是小因子數(shù)，6(3N+3+W)+1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(3N-W)-1是小因子數(shù)，6(3N+1+W)-1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題7對于B=36N-1形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，應(yīng)該是（B+1）
則6(3N-W)+1是小因子數(shù)；6(3N+W)-1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，應(yīng)該是（B+1）
則6(W-3N)-1是小因子數(shù)；6(W+3N)+1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題8對于B=36N+5形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N)+1是小因子數(shù)，6(W+3N+1)-1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-2)-1是小因子數(shù)，6(W+3N+3)+1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題9對于B=36N+11形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-1)+1是小因子數(shù)，6(W+3N+1)-1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-2)-1是小因子數(shù)，6(W+3N+2)+1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題10對于B=36N+17形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-1)+1是小因子數(shù)；6(W+3N+2)-1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-1)-1是小因子數(shù)；6(W+3N+2)+1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題11對于B=36N+23形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-2)+1是小因子數(shù)，6(W+3N+2)+1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-1)-1是小因子數(shù)，6(W+3N+1)+1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
命題12對于B=36N+29形數(shù)而言。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N-2)+1是小因子數(shù)，6(W+3N+3)-1是大因子數(shù)。
若不定方程
有整數(shù)解，
則6(W-3N)-1是小因子數(shù)，6(W+3N+1)+1是大因子數(shù)。
兩式都無解，是素?cái)?shù)。
素性檢測一般用于數(shù)學(xué)或者加密學(xué)領(lǐng)域。用一定的算法來確定輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。不同于整數(shù)分解，素性測試一般不能得到輸入數(shù)的素?cái)?shù)因子，只說明輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。大整數(shù)的分解是一個(gè)計(jì)算難題，而素性測試是相對更為容易（其運(yùn)行時(shí)間是輸入數(shù)字大小的多項(xiàng)式關(guān)系）。有的素性測試證明輸入數(shù)字是素?cái)?shù)，而其他測試，比如米勒-拉賓（Miller–Rabin）則是證明一個(gè)數(shù)字是合數(shù)。因此，后者可以稱為合性測試。
素性測試通常是概率測試（不能給出100%正確結(jié)果）。這些測試使用除輸入數(shù)之外，從一些樣本空間隨機(jī)出去的數(shù)；通常，隨機(jī)素性測試絕不會(huì)把素?cái)?shù)誤判為合數(shù)，但它有可能為把一個(gè)合數(shù)誤判為素?cái)?shù)。誤差的概率可通過多次重復(fù)試驗(yàn)幾個(gè)獨(dú)立值a而減小；對于兩種常用的測試中，對任何合數(shù)n，至少一半的a檢測n的合性，所以k的重復(fù)可以減小誤差概率最多到
，可以通過增加k來使得誤差盡量小。
隨機(jī)素性測試的基本結(jié)構(gòu)：
1.隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)字a。
2.檢測某個(gè)包含a和輸入n的等式（與所使用的測試方法有關(guān)）。如果等式不成立，則n是合數(shù)，a作為n是合數(shù)的證據(jù)，測試完成。
3.從1步驟重復(fù)整個(gè)過程直到達(dá)到所設(shè)定的精確程度。
在幾次或多次測試之后，如果n沒有被判斷為合數(shù)，那么我們可以說n可能是素?cái)?shù)。
常見的檢測算法：費(fèi)馬素性檢驗(yàn)（Fermatprimalitytest），米勒拉賓測試（Miller–Rabinprimalitytest），Solovay–Strassen測試，盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法（Lucas–Lehmerprimalitytest）。
篩素?cái)?shù)法
篩素?cái)?shù)法可以比枚舉法節(jié)約極大量的時(shí)間（定n為所求最大值，m為≤n的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)，那么枚舉需要O(n^2)的時(shí)間復(fù)雜度，而篩素?cái)?shù)法為O(m*n),顯然m<
思路：建立一個(gè)bool型數(shù)組M，若已知一個(gè)數(shù)M[k]是質(zhì)數(shù)，那么其i（i為正整數(shù)）倍M[k*i]必然為合數(shù)，可將其去除。
//c++代碼allrightsreserve.#include#include< cstdio>#includeusingnamespacestd;constlonglongsize=1000000;//修改此值以改變要求到的最大值boolzhishu[size+5]={false};intmain(){freopen("zhishu.out","w",stdout);//輸出答案至“篩質(zhì)數(shù)（shaizhishu）.exe”所在文件夾內(nèi)zhishu[2]=true;for(longlongi=3;i<=size;i+=2)zhishu[i]=true;//所有奇數(shù)標(biāo)為true，偶數(shù)為falsefor(longlongi=3;i<=size;i++){if(zhishu[i]){//如果i是質(zhì)數(shù)intcnt=2;while(cnt*i<=size){//把i的倍數(shù)標(biāo)為false（因?yàn)樗鼈兪呛蠑?shù)）zhishu[cnt*i]=false;cnt++;}}}intcnt=1;for(inti=2;i<=size;i++){//全部遍歷一遍if(zhishu[i]){//如果仍然標(biāo)記為true（是質(zhì)數(shù)）則輸出cout<
篩選法的Java實(shí)現(xiàn)，如下：
/***@titleSOE*@desc簡單的埃氏篩選法計(jì)算素?cái)?shù)*@authorhe11o*@date2016年5月3日*@version1.0*/publicclassSOE{publicstaticintcalPrime(intn){if(n<=1){return0;}byte[]origin=newbyte[n+1];intcount=0;for(inti=2;i
采用簡單的埃氏篩選法和簡單的開方判斷素?cái)?shù)法計(jì)算1000000以內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)的效率比較：
StopWatch'計(jì)算1000000以內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)':runningtime(millis)=268
ms%Taskname
00024009%簡單的埃氏篩選法
00244091%簡單的開方判斷素?cái)?shù)法
猜想
哥德巴赫猜想：是否每個(gè)大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和？
斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無窮多的素?cái)?shù)？
在n與(n+1)之間是否每隔n就有一個(gè)素?cái)?shù)？
是否存在無窮個(gè)形式如X+1素?cái)?shù)？
孿生素?cái)?shù)無限多的證明
大于3的素?cái)?shù)只分布在6n-1和6n+1兩數(shù)列中。（n非0自然數(shù)，下同）
6n-1數(shù)列中的合數(shù)叫陰性合數(shù)，其中的素?cái)?shù)叫陰性素?cái)?shù)（q）。
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（NM兩個(gè)非0自然數(shù)，N=〈M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
在6n-1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陰性素?cái)?shù)了，所以就有陰性素?cái)?shù)定理
x=/=6NM+-（M-N）
陰性不等數(shù)不等于陰性上下兩式。
6x-1=q
6乘以陰性不等數(shù)減去1等于陰性素?cái)?shù)。
陽性合數(shù)定理和陽性素?cái)?shù)定理
6n+1數(shù)列中的合數(shù)叫陽性合數(shù)，其中的素?cái)?shù)叫陽性素?cái)?shù)（P）。
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6乘以陽性上等數(shù)加上1等于陽性上合數(shù)。
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
6乘以陽性下等數(shù)加上1等于陽性下合數(shù)。
在6n+1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陽性素?cái)?shù)了，所以就有陽性素?cái)?shù)定理
X=/=6NM+-（N+M）
陽性不等數(shù)不等于陽性上下兩式。
6X+1=P
6乘以陽性不等數(shù)加上1等于陽性素?cái)?shù)。
與孿生素?cái)?shù)相對應(yīng)的完全不等數(shù)
（X）=/=6NM+-（M+-N）
完全不等數(shù),它既不等于陰性上下兩式；也不等于陽性上下兩式。
6（X）+1=P
6乘以完全不等數(shù)加上1等于陽性素?cái)?shù)；
6（X）-1=q
6乘以完全不等數(shù)減去1等于陰性素?cái)?shù)。
一個(gè)完全不等數(shù)所產(chǎn)生的陰性素?cái)?shù)q和陽性素?cái)?shù)P就是一對孿生素?cái)?shù).
并且完全不等數(shù)與孿生素?cái)?shù)是一一對應(yīng)的.
6NM+（M-N）=陰性上等數(shù)6NM-（M-N）=陰性下等數(shù)
6NM+（N+M）=陽性上等數(shù)6NM-（N+M）=陽性下等數(shù)
為了搞清它們在自然數(shù)中分布情況，把四式中的N叫級別因子數(shù)，M叫無限因子數(shù)。
四種等數(shù)的每一個(gè)級別的最小等數(shù)都在6NN+-（N+N）范圍。
每一級別的上等數(shù)相鄰兩等數(shù)距離是6n+1，在自然數(shù)列中比例是1/（6n+1），陰陽兩種上等數(shù)每個(gè)級別的比例合計(jì)是2/（6n+1），（但實(shí)際是略少于這個(gè)比例，因每一級別的底部都沒有這個(gè)級別的等數(shù)。）
每一級別的下等數(shù)相鄰等數(shù)的距離是6n-1，在自然數(shù)列中的比例是1/（6n-1），陰陽兩種下等數(shù)的每個(gè)級別的合計(jì)比例是2/（6n-1），（但實(shí)際是略少于這個(gè)比例，因每一級別的底部都沒有這個(gè)級別的等數(shù)。）
在相對應(yīng)的級別標(biāo)準(zhǔn)單位的連續(xù)自然數(shù)篩掉一個(gè)級別的四種等數(shù)后，剩下非該級別的自然數(shù)的比例是[（6N-1）（6N-3）]/[（6N+1）（6N-1）].并且是精準(zhǔn)的。
四種等數(shù)大小數(shù)列的互相滲透
自然數(shù)列中在陰性方面有陰性上等數(shù)數(shù)列和陰性的下等數(shù)數(shù)列；自然數(shù)數(shù)列在陽性方面陽性上等數(shù)數(shù)列和陽性下等數(shù)數(shù)列。它們的級別有無限多，每一個(gè)級別的數(shù)列的等數(shù)也是無限多的。同一種等數(shù)級別不同的數(shù)列都是互相滲透而產(chǎn)生重疊，并以兩級別的等數(shù)距離的乘積而嚴(yán)格地重疊的。篩掉N及以下級別的等數(shù)用連乘式正好可以表示它們的滲透重疊關(guān)系。
四種等數(shù)數(shù)列之間都有互相滲透而重疊，只有同一級別陰陽上上數(shù)列.下下數(shù)列沒有滲透。
如第一級別的陽性下等數(shù)，從4開始每隔5個(gè)自然數(shù)就是一個(gè)第一級別的陽性下等數(shù)，它的比例是1/5，只要大于3的任何連續(xù)5個(gè)自然數(shù)，第一級別陽性下等數(shù)的比例是1/5，并且永遠(yuǎn)不變。第一級別的陰性下等數(shù)從6開始每隔5個(gè)個(gè)自然數(shù)就是一個(gè)陰性下等數(shù)，它的比例是1/5,只要大于5的連續(xù)5個(gè)自然數(shù)，第一級別陰性下等數(shù)的1/5的比例也是永恒的。這樣第一級別的陰陽兩種下等數(shù)的比例是2/5，在任何大于5的5個(gè)連續(xù)自然數(shù)這個(gè)比例也是永恒的。第一級別的陰陽兩種上等數(shù)2/7,只要是連續(xù)7的自然數(shù)這個(gè)比例也是永恒的。由于上下兩等數(shù)的互相重疊，它們的比例是20/35,為什么不是4/7,因?yàn)橹挥性诖笥?的連續(xù)35個(gè)自然數(shù)這個(gè)比例是不變的，如果連續(xù)7個(gè)自然數(shù)，它的比例有時(shí)是2/7,有時(shí)是3/7，有時(shí)是4/7.
其它級別也是一樣的。但如果這個(gè)級別的等數(shù)間隔距離是合數(shù)的，這個(gè)級別的等數(shù)都與前面級別的等數(shù)重疊的，所以這些級別就不用計(jì)算了。
這樣就立出以下的計(jì)算公式：
（6NN+6N）*3/5*5/7*9/11*11/13*......*（p-2）/p
（6NN+6N）是一個(gè)自然數(shù)的大體表達(dá)式，P《=NN以內(nèi)最大的素?cái)?shù)。
對應(yīng)數(shù)段與同步區(qū)間
1、對應(yīng)數(shù)段和精準(zhǔn)的比例
計(jì)算一個(gè)級別的四種等數(shù)，只有在同一級別的對應(yīng)數(shù)段為單位才是精準(zhǔn)的比例，不然就有誤差。
一個(gè)N級別的標(biāo)準(zhǔn)單位是（6N+1）（6N-1）；在計(jì)算N級別及以下的四種等數(shù)，它們的對應(yīng)數(shù)段是N級別及以下的所有有性素?cái)?shù)（不包括2和3的素?cái)?shù)）的乘積。
對應(yīng)數(shù)段的增大速度非?？?。
對應(yīng)數(shù)段的對應(yīng)位置一定要在大于最大級別的最小陰性等數(shù)。
在這位置以上任何連續(xù)的對應(yīng)數(shù)段為單位的自然數(shù)中，它們的自己的等數(shù)是一定的，比例是精準(zhǔn)的（不包括大于它的級別等數(shù)）。
2、與素?cái)?shù)分布基本同步的SN區(qū)間
12（1+2+3+……+N）-12（1+2+3+......+（N-1）=（6N^2+6N）-[6（N-1）^2+6（N-1）]=12N
SN區(qū)間與四種等數(shù)數(shù)列是同步的。
在這樣的區(qū)間內(nèi)包括N級別及以下的所有四種等數(shù)數(shù)列的等數(shù)，并沒有比N級別大的數(shù)列等數(shù)，與四種等數(shù)的級別是完全同步的，所以與素?cái)?shù)的分布也是同步的。
大于S8區(qū)間內(nèi)都有8個(gè)以上的完全不等數(shù)
在每一個(gè)SN區(qū)間只有存在1至N級別的四種數(shù)列等數(shù)，每一級別等數(shù)的比例是可以確定，由于上下級別的滲透。就可以拿以下式來計(jì)算S8區(qū)間的完全不等數(shù)的至少個(gè)數(shù)。
12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768
（由于計(jì)算的區(qū)間不是對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)單位，肯定會(huì)有誤差，為保險(xiǎn)起見，把各級別中合數(shù)也給算上，一個(gè)級別中上下兩種等數(shù)的重疊則沒有算。）
其他每一個(gè)SN區(qū)間可用這種方法計(jì)算.
隨著區(qū)間的增大完全不等數(shù)計(jì)算的數(shù)量也會(huì)越來越多.以后都會(huì)超過8個(gè).
誤差分析
在計(jì)算任何區(qū)間的等數(shù)，由于標(biāo)準(zhǔn)的比例與計(jì)算的區(qū)間都不能整除，所以存在誤差是一定，由于誤差掩蓋了等數(shù)的精準(zhǔn)比例。
由于各個(gè)區(qū)間與相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)單位不能同步，一個(gè)級別及以下的所有有性素?cái)?shù)的乘積為這個(gè)級別的對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)單位，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位比對應(yīng)的級別區(qū)間大得很多，如第一和第二兩個(gè)級別的標(biāo)準(zhǔn)單位就有5005，第二個(gè)N區(qū)間只有24，在5005的連續(xù)自然數(shù)中就有許多比第二級別大得多的等數(shù)，所以計(jì)算出的數(shù)值大多會(huì)有誤差。只有用標(biāo)準(zhǔn)的單位計(jì)算相對應(yīng)的所有級別的等數(shù)才不會(huì)有誤差，由于標(biāo)準(zhǔn)單位的增速比等數(shù)級別快得多，所以就沒有所有等數(shù)級別的標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間。
另外，可用最嚴(yán)格下取整的誤差分析方法，將SN區(qū)間捆綁成1,2,4,8,16......2^（N-1）的LN區(qū)間.在每一個(gè)大于S8的SN區(qū)間計(jì)算都大于8個(gè)完全不等數(shù),在每一個(gè)LN區(qū)間都有2^N-1級別等數(shù)數(shù)列,每級級別有4種等數(shù)數(shù)列,每一級別一種等數(shù)篩一次誤差極限是1.每一個(gè)LN區(qū)間誤差極限是4*（2^N-1）.
8*2^（N-1）-4*（2^N-1）=4
最嚴(yán)格下取整后大于L4的區(qū)間仍然還有4個(gè)完全不等數(shù)。
總結(jié)
根據(jù)以上的論證，在大于S8區(qū)間每一個(gè)SN區(qū)間都有8個(gè)以上的完全不等數(shù).
嚴(yán)格的下取整后，大于L4的每一個(gè)LN區(qū)間都還有多于4個(gè)的完全不等數(shù)。
LN區(qū)間是無限多的，完全不等數(shù)與孿生素?cái)?shù)對是一一對應(yīng)的，所以孿生素?cái)?shù)也是無限多的。
這個(gè)證明期待著權(quán)威的表態(tài)。
難題
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想證明的困難在于，任何能找到的素?cái)?shù)，在以下式中都是不成立的。2*3*5*7*。。。。。。*PN*P=PN+（2*3*5*7*。。。。。。*P-1）*PN前面的偶數(shù)減去任何一個(gè)素?cái)?shù)PN的差必是合數(shù).
在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。因現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素?cái)?shù)”這個(gè)約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和"。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，亦稱為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。
從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。
若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會(huì)是對的。1937年時(shí)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇質(zhì)數(shù)都能寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素?cái)?shù)定理”。2013年，秘魯數(shù)學(xué)家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師范學(xué)院宣稱：證明了一個(gè)“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個(gè)大于7的奇數(shù)都能被表示成3個(gè)奇素?cái)?shù)之和”。
黎曼猜想
黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點(diǎn)分布的猜想，由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德國數(shù)學(xué)家希爾伯特列出23個(gè)數(shù)學(xué)問題。其中第8問題中便有黎曼假設(shè)。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布并沒有簡單的規(guī)律。黎曼發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼ζ函數(shù)緊密相關(guān)。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數(shù)ζ(s)非平凡零點(diǎn)（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點(diǎn)的值）的實(shí)數(shù)部份是1/2。即所有非平凡零點(diǎn)都應(yīng)該位于直線1/2+ti（“臨界線”（criticalline））上。t為一實(shí)數(shù)，而i為虛數(shù)的基本單位。無人給出一個(gè)令人信服的關(guān)于黎曼猜想的合理證明。
在黎曼猜想的研究中，數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上Re(s)=1/2的直線稱為criticalline。運(yùn)用這一術(shù)語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于criticalline上。
黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在證明素?cái)?shù)定理的過程中，黎曼提出了一個(gè)論斷：Zeta函數(shù)的零點(diǎn)都在直線Res(s)=1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因?yàn)檫@對他證明素?cái)?shù)定理影響不大。但這一問題仍然未能解決，甚至于比此假設(shè)簡單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問題都依賴于黎曼假設(shè)。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設(shè)更是影響深遠(yuǎn)。若能證明黎曼假設(shè)，則可帶動(dòng)許多問題的解決。
孿生質(zhì)數(shù)
證明36N（N+1）+-1形孿生素?cái)?shù)無限多
在這種數(shù)對中2和3不能整除它們，也就是2和3不參加篩選；用5當(dāng)篩子時(shí)，N除以5余2的產(chǎn)生的陰性數(shù)（6n-1）能被5整除，N除以5余1，3，4和0都不能被5整除；不管N是什么數(shù)所產(chǎn)生的陽性數(shù)（6n+1）都不能被5整除，這樣在所有的自然數(shù)中就有1/5被篩掉了。
用7當(dāng)篩子時(shí)，N除以7余2和4所產(chǎn)生的陽性數(shù)能被7整除，不管N是什么數(shù)所產(chǎn)生的陰性數(shù)都不能被7整除。這樣就有2/7被篩掉了。
用11當(dāng)篩子時(shí)，不管N是什么數(shù)，所產(chǎn)生的陰性數(shù)和陽性數(shù)都不能被11整除，11是一個(gè)無效篩子，不參加篩選。
總之，所有的素?cái)?shù)在篩選N時(shí)有4種情況，一，不參加篩選。二，單一參加篩選的，如5，（5是唯一一個(gè)單一篩選的）。三，成對單邊參加篩選的。四，成對兩邊都參加篩選的。
N是無限多的，被5篩掉了1/5,剩下還是無限多的。再被7篩掉了2/7,剩下的還是無限多的。再一個(gè)個(gè)篩下去不管篩掉的是2/P還是4/P，剩下永遠(yuǎn)是無限多的。
雁蕩山孿生素?cái)?shù)就是無限多的。
1849年，波林那克提出孿生質(zhì)數(shù)猜想（theconjectureoftwinprimes），即猜測存在無窮多對孿生質(zhì)數(shù)。猜想中的“孿生質(zhì)數(shù)”是指一對質(zhì)數(shù)，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孿生質(zhì)數(shù)。
英國數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個(gè)“強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想”。這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。2013年5月14日，《自然》(Nature)雜志在線報(bào)道張益唐證明了“存在無窮多個(gè)之差小于7000萬的素?cái)?shù)對”，這一研究隨即被認(rèn)為在孿生素?cái)?shù)猜想這一終極數(shù)論問題上取得了重大突破，甚至有人認(rèn)為其對學(xué)界的影響將超過陳景潤的“1+2”證明。
36N（N+1）+-1形的孿生素?cái)?shù)，N《100000000有109128對。
梅森質(zhì)數(shù)
梅森素?cái)?shù)編選法
根據(jù)素?cái)?shù)作為因子數(shù)在2^N-1數(shù)列中的分布規(guī)律而編選梅森素?cái)?shù)。
一在2^N-1平方根以內(nèi)沒有奇素?cái)?shù)的，這個(gè)指數(shù)的數(shù)就是梅森素?cái)?shù)，后面的指數(shù)能被這個(gè)梅森素?cái)?shù)整除的都有這個(gè)梅森素?cái)?shù)的因子，周期重復(fù)的都編上這個(gè)因子數(shù)。
二在2^N-1數(shù)列中N是合數(shù)的，2^N-1是由前面素因子和新增的因子數(shù)組成，只要除去前面的因子數(shù)就能得到新的因子數(shù)，新的因子數(shù)也以這個(gè)指數(shù)為周期重復(fù)出現(xiàn)，并在后面重復(fù)的數(shù)編上這個(gè)因子數(shù)。
三指數(shù)是素?cái)?shù)的，剩下的因子素?cái)?shù)根據(jù)減1能被指數(shù)整除來選合，選合后并在后面的周期重復(fù)的數(shù)編上這些因子數(shù)；剩下的因子素?cái)?shù)在2^N-1平方根以內(nèi)選完后，還有梅森數(shù)空著，這個(gè)梅森數(shù)就是梅森素?cái)?shù)，并在后面周期重復(fù)的數(shù)編上為些因子數(shù)。
根據(jù)以上的方法操作如下：
把2^n-1的指數(shù)都展開，從2開始編下去。
指數(shù)2的數(shù)值是3，3的平方根內(nèi)沒有奇素?cái)?shù)，所以它是梅森素?cái)?shù)，凡是指數(shù)能被2整除的都有3的因子數(shù)，后面以2為周期編上因子數(shù)3；
指數(shù)3的數(shù)值是7，7的平方根內(nèi)沒有奇素?cái)?shù)，所以它也是梅森素?cái)?shù)；凡是指數(shù)能被3整除的都有7的因子數(shù)，以3為周期編上因子數(shù)7；
指數(shù)4數(shù)值是15，4能被2整除所以有3的因子數(shù)，15除以3等于5，5是新出現(xiàn)的因子數(shù)，凡是指數(shù)能被4整除的，都有5的因子數(shù)，后面以4為周期編上因子數(shù)5；
指數(shù)是5數(shù)值是31，31的平方根以內(nèi)只有3和5兩個(gè)奇素?cái)?shù)，3和5已是指數(shù)2和4的因子數(shù)了，所以這個(gè)梅森數(shù)是梅森素?cái)?shù)，凡是指數(shù)能被5整除的，都有31的因子數(shù)，后面以5為周期編上因子數(shù)31；
指數(shù)6數(shù)值是63，6比較特別，凡是指數(shù)能被6整除的都會(huì)再增一個(gè)3的因子數(shù)，它是唯一一個(gè)不會(huì)新增其他因子數(shù)的數(shù)，后面以6為周期再編上一個(gè)因子數(shù)3；
指數(shù)7數(shù)值是127，127的平方根以內(nèi)只有奇素?cái)?shù)11還沒有用上（實(shí)際以后都會(huì)用上的），11減1不能被7整除，所以127也是梅森素?cái)?shù)，凡是指數(shù)能被7整除的都有127的因子數(shù)，后面以7為周期編上因子數(shù)127；
指數(shù)8數(shù)值是255，增加了17的因子數(shù)，凡是指數(shù)能被8整除的都有17的因子數(shù)，后面以8為周期編上因子數(shù)17；
指數(shù)9數(shù)值是511，新增73的因子數(shù)，凡是指數(shù)能被9整除的都有73的因子數(shù)，后面以9為周期編上因子數(shù)73；
指數(shù)10數(shù)值是1023，新增11的因子數(shù)，凡是指數(shù)能被10整除的都有11的因子數(shù)，后面以10為周期編上因子數(shù)11；
指數(shù)11數(shù)值是2047，2047的平方根內(nèi)還有43，41，37，29，23，19，13等奇素?cái)?shù)（只要往后多編一些，留下的數(shù)就更少了），只要將這幾個(gè)數(shù)都減去1，那一個(gè)數(shù)被11整除，只有23-1能被11整除，2047/23=89，23和89是它的因子數(shù)，兩個(gè)因子數(shù)都是新增加的，因?yàn)樗?/span>梅森合數(shù)，凡是指數(shù)能被11整除的都有23和89的因子數(shù)，后面以11為周期編上因子數(shù)23和89；
指數(shù)12數(shù)值是4095，已有的因子數(shù)3*7*5*3，新的因子數(shù)是13，凡是后面指能被12整除的，都編上因子數(shù)13。
指數(shù)13數(shù)值是8191，8191的平方根內(nèi)還有83，79，73，71，67，61，59，53，47，43，41，29，19等素?cái)?shù)，其中只有79-1能被13整除，用79試除也是不行，所以8191也梅森素?cái)?shù)。
一直編下去，每一個(gè)指數(shù)至少都會(huì)新增一個(gè)素?cái)?shù)的因子數(shù)，不是梅森素?cái)?shù)和梅森合數(shù)的因子數(shù)都能編選出來，沒有選到的就是梅森合數(shù)的因子數(shù)和梅森素?cái)?shù)。
編梅森數(shù)時(shí)，根據(jù)素?cái)?shù)減1能被指數(shù)整除的定理，從剩下素?cái)?shù)中選合。
2^N-1的平方根以內(nèi)的素?cái)?shù)都被因子數(shù)選完，留下就是梅森素?cái)?shù)了。
梅森素?cái)?shù)的近似計(jì)算公式：
3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/（P-1.2）-1=M
P是梅森數(shù)的指數(shù)，M是P以下的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。
以下是計(jì)算的數(shù)值與實(shí)際數(shù)的情況：
指數(shù)5，計(jì)算2.947，實(shí)際3，誤差0.053；
指數(shù)7，計(jì)算3.764，實(shí)際4，誤差0.236；
指數(shù)13，計(jì)算4.891，實(shí)際5，誤差0.109；
指數(shù)17，計(jì)算5.339，實(shí)際6，誤差0.661；
指數(shù)19，計(jì)算5.766，實(shí)際7，誤差1.234；
指數(shù)31，計(jì)算6.746，實(shí)際8，誤差1.254；
指數(shù)61，計(jì)算8.445，實(shí)際9，誤差0.555；
指數(shù)89，計(jì)算9.201，實(shí)際10，誤差0.799；
指數(shù)107，計(jì)算9.697，實(shí)際11，誤差1.303；
指數(shù)127，計(jì)算10.036，實(shí)際12，誤差1.964；
指數(shù)521，計(jì)算13.818，實(shí)際13，誤差-0.818；
指數(shù)607，計(jì)算14.259，實(shí)際14，誤差-0.259；
指數(shù)1279，計(jì)算16.306，實(shí)際15，誤差-1.306；
指數(shù)2203，計(jì)算17.573，實(shí)際16，誤差-1.573；
指數(shù)2281，計(jì)算17.941，實(shí)際17，誤差-0.941；
所有的奇素?cái)?shù)都是準(zhǔn)梅森數(shù)（2^N-1）的因子數(shù)，則梅森合數(shù)的因子數(shù)是只有素?cái)?shù)中的一部份。
在2^N-1的數(shù)列中，一個(gè)素?cái)?shù)作為素因子第一次出現(xiàn)在指數(shù)N的數(shù)中，這個(gè)素?cái)?shù)作為因子數(shù)在2^N-1數(shù)列中就以N為周期出現(xiàn)。在這種數(shù)列中指數(shù)是偶數(shù)的都等于3乘以四倍金字塔數(shù)。
在2^N-1數(shù)列中，指數(shù)大于6的，除梅森素?cái)?shù)外，都有新增一個(gè)或一個(gè)以上的素?cái)?shù)為因子數(shù)，新增的因子數(shù)減1能被這個(gè)指數(shù)整除。
一個(gè)梅森合數(shù)的因子數(shù)只有唯一一次出現(xiàn)在一個(gè)梅森合數(shù)中。
一個(gè)是梅森素?cái)?shù)的素?cái)?shù)，它永遠(yuǎn)不是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
一個(gè)是前面的梅森合數(shù)的因子數(shù)，它永遠(yuǎn)不會(huì)是后面的梅森合數(shù)的因子數(shù)。
所有梅森合數(shù)的數(shù)因子減1都能被這個(gè)梅森合數(shù)的指數(shù)整除，商是偶數(shù)。
一個(gè)素?cái)?shù)在不是梅森合數(shù)的準(zhǔn)梅森數(shù)中第一次以因子數(shù)出現(xiàn)，這個(gè)素?cái)?shù)減1能被這個(gè)準(zhǔn)梅森數(shù)的指數(shù)整除，商不一定是偶數(shù)。
梅森素?cái)?shù)都在[4^（1-1）+4^（2-1）+4^（3-1）+......+4^（n-1）]*6+1數(shù)列中，括符里種數(shù)暫叫四倍金字塔數(shù)。
凡是一個(gè)素?cái)?shù)是四倍金字塔數(shù)的因子數(shù)，以后就不是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
在4^（1-1）+4^（2-1）+4^（3-1）+......+4^（n-1）數(shù)列中的數(shù)，有不等于6NM+-（N+M）的數(shù)乘以6加上1都是梅森素?cái)?shù)。
在2^P-1平方根以下的素?cái)?shù)都以素因子在以前準(zhǔn)梅森數(shù)中出現(xiàn)了，那這個(gè)梅森數(shù)必是梅森素?cái)?shù)。但它的逆定理是不成立的。如果還沒有出現(xiàn)在以前的準(zhǔn)梅森數(shù)中的素?cái)?shù)，它也不定是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
17世紀(jì)還有位法國數(shù)學(xué)家叫梅森，他曾經(jīng)做過一個(gè)猜想：當(dāng)2-1中的p是質(zhì)數(shù)時(shí)，2-1是質(zhì)數(shù)。他驗(yàn)算出：當(dāng)p=2、3、5、7、17、19時(shí)，所得代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù)，后來，歐拉證明p=31時(shí)，2-1是質(zhì)數(shù)。p=2，3，5，7時(shí)，2-1都是素?cái)?shù)，但p=11時(shí)，所得2,047=23×89卻不是素?cái)?shù)。
梅森去世250年后，美國數(shù)學(xué)家科爾證明，2-1=193,707,721×761,838,257,287，是一個(gè)合數(shù)。這是第九個(gè)梅森數(shù)。20世紀(jì)，人們先后證明：第10個(gè)梅森數(shù)是質(zhì)數(shù)，第11個(gè)梅森數(shù)是合數(shù)。質(zhì)數(shù)排列得雜亂無章，也給人們尋找質(zhì)數(shù)規(guī)律造成了困難。
迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)49個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。美國中央密蘇里大學(xué)于2016年1月7日發(fā)現(xiàn)的質(zhì)數(shù)，為迄今發(fā)現(xiàn)的最大質(zhì)數(shù)，同時(shí)是一個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。由于這種質(zhì)數(shù)珍奇而迷人，它被人們稱為“數(shù)學(xué)珍寶”。值得一提的是，中國數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家周海中根據(jù)已知的梅森質(zhì)數(shù)及其排列，巧妙地運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年正式提出了梅森素質(zhì)分布的猜想，這一重要猜想被國際上稱為“周氏猜測”。
2017年12月26日，美國田納西州日耳曼敦的GIMPS志愿者喬納森·佩斯（JonathanPace）發(fā)現(xiàn)了第50個(gè)梅森素?cái)?shù)277232917－1。這個(gè)超大素?cái)?shù)有23249425位數(shù)，再次刷新了已知最大素?cái)?shù)紀(jì)錄。新的紀(jì)錄是M82589933，由美國佛羅里達(dá)州奧卡拉的帕特里克·羅什在2018年12月7日發(fā)現(xiàn)。
參考資料
[1]
質(zhì)數(shù) · 天天查詢[引用日期2021-07-06]
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奇數(shù)
不能被2整除的數(shù)
偶數(shù)
能被2整除的數(shù)
質(zhì)數(shù)
只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)
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