編程語言概況

大家中學(xué)時(shí)就學(xué)過，√2 是一個(gè)無理數(shù)，它不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比，是一個(gè)看上去毫無規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù)。早在古希臘時(shí)代，人們就發(fā)現(xiàn)了這種奇怪的數(shù)，這推翻了古希臘數(shù)學(xué)中的基本假設(shè)，直接導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

事實(shí)上，√2只是最普通的無理數(shù)。在無理數(shù)大家庭中，還有很多比√2更詭異的數(shù)。

不可計(jì)算數(shù)

圓周率的小數(shù)展開看上去似乎是完全隨機(jī)的，但畢竟是有辦法算出來的。如果你想知道 π 的小數(shù)點(diǎn)后第一億位是多少，我總能在有限的時(shí)間里算出答案來。

1975 年，計(jì)算機(jī)科學(xué)家格里高里·蔡廷（Gregory Chaitin）研究了一個(gè)很有趣的問題：任意指定一種編程語言中，隨機(jī)輸入一段代碼，這段代碼能成功運(yùn)行并且會在有限時(shí)間里終止（不會無限運(yùn)行下去）的概率是多大。他把這個(gè)概率值命名為了“蔡廷常數(shù)”（Chaitin's constant）。

這聽起來有點(diǎn)不可思議，但事實(shí)上確實(shí)如此——蔡廷常數(shù)是一個(gè)不可計(jì)算數(shù)（uncomputable number）。也就是說，雖然蔡廷常數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)字，但現(xiàn)已在理論上證明了，你是永遠(yuǎn)無法求出它來的。

盡管蔡廷常數(shù)算不出來，不過我們卻知道蔡廷常數(shù)是什么。它有一個(gè)明確的定義。但是，并不是所有的數(shù)都能夠用有限的文字描述出來的。原因很簡單，因?yàn)殚L度有限的文字段落是可以逐一枚舉的（雖然有無窮多），而全體實(shí)數(shù)是不能枚舉的，因此總存在一些不可能用語言描述出來的數(shù)。這種數(shù)就叫做不可定義數(shù)（undefinable number）。

自然數(shù)也好，有理數(shù)也好，根號 2 也好，圓周率也好，蔡廷常數(shù)也好，它們都有明確的定義，都屬于可定義數(shù)的范疇。事實(shí)上，整個(gè)人類歷史上所有文獻(xiàn)提到過的所有實(shí)數(shù)都是可定義的，因?yàn)樗鼈兌家呀?jīng)被我們描述出來了。但是，由于可定義數(shù)與全體實(shí)數(shù)的數(shù)量根本不在一個(gè)級別上，不可定義的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于可定義的數(shù)。

那么，誰發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)不可定義數(shù)呢？答案是，從沒有人發(fā)現(xiàn)過不可定義的數(shù)，以后也不會有人找到不可定義的數(shù)。因?yàn)椴豢啥x數(shù)是無法用語言描述的，我們只能用非構(gòu)造的方式證明不可定義數(shù)的存在性，但卻永遠(yuǎn)沒法找出一個(gè)具體例子來。

好在，雖然有那么多數(shù)是沒有辦法描述的，但數(shù)學(xué)家們也不會損失什么。每一個(gè)值得研究的數(shù)一定都有著優(yōu)雅漂亮的性質(zhì)，這些性質(zhì)就已經(jīng)讓它成為了能夠被定義出來的數(shù)。